Le Critère de Kelly
Optimiser mathématiquement ses mises
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Guide complet du critère de Kelly : origine, formule, application aux paris hippiques, et pourquoi utiliser Kelly fractionné.
Le critère de Kelly est une formule mathématique qui détermine la taille optimale d’une mise pour maximiser la croissance du capital à long terme.
Origine et Histoire
John L. Kelly Jr.
Le critère de Kelly a été développé en 1956 par John L. Kelly Jr., un scientifique des Bell Labs. Il travaillait sur la théorie de l’information et cherchait à optimiser la transmission de signaux téléphoniques.
Kelly a publié son article “A New Interpretation of Information Rate” dans le Bell System Technical Journal. Il y démontrait comment utiliser l’avantage informationnel pour optimiser les paris.
Edward Thorp et les Casinos
Le mathématicien Edward Thorp a popularisé le critère de Kelly dans son livre “Beat the Dealer” (1962). Il l’a utilisé pour optimiser ses mises au blackjack après avoir développé le comptage de cartes.
Thorp a ensuite appliqué Kelly aux marchés financiers, devenant un pionnier des hedge funds quantitatifs.
NoteRéférences académiques
- Kelly, J.L. (1956). “A New Interpretation of Information Rate”. Bell System Technical Journal.
- Thorp, E.O. (1962). “Beat the Dealer”. Random House.
- Thorp, E.O. (2017). “A Man for All Markets”. Random House.
La Formule de Kelly
Formule de Base
\[f^* = \frac{p \times b - q}{b}\]
Où : - \(f^*\) = fraction de la bankroll à miser - \(p\) = probabilité de gain (votre estimation) - \(q\) = probabilité de perte (\(q = 1 - p\)) - \(b\) = rapport net (cote - 1)
Exemple Concret
Vous estimez qu’un cheval a 30% de chances de gagner, et sa cote est de 4.0 (rapport de 4€ pour 1€ misé).
Calcul : - \(p = 0.30\) (30% de chances de gain) - \(q = 0.70\) (70% de chances de perte) - \(b = 4.0 - 1 = 3.0\) (rapport net)
\[f^* = \frac{0.30 \times 3.0 - 0.70}{3.0} = \frac{0.90 - 0.70}{3.0} = \frac{0.20}{3.0} = 6.7\%\]
Résultat : Kelly recommande de miser 6.7% de votre bankroll.
Comprendre l’Intuition
Quand Kelly Dit de Miser
Kelly ne recommande de miser que si vous avez un avantage. Mathématiquement :
\[f^* > 0 \Leftrightarrow p \times b > q \Leftrightarrow p \times (cote - 1) > (1-p)\]
Simplifié : votre probabilité estimée × cote > 1
Tableau de Décision
| Probabilité | Cote 2.0 | Cote 3.0 | Cote 5.0 | Cote 10.0 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 10% | — | — | — | — |
| 1 | 20% | — | — | — | 11.1% |
| 2 | 30% | — | — | 12.5% | 22.2% |
| 3 | 40% | — | 10.0% | 25.0% | 33.3% |
| 4 | 50% | — | 25.0% | 37.5% | 44.4% |
Lecture du tableau : “—” signifie que Kelly recommande de ne pas miser (pas d’avantage).
Le Problème : La Variance
Kelly Complet est Trop Agressif
Le critère de Kelly maximise la croissance à long terme, mais il génère une forte variance à court terme.
Exemple avec Kelly complet (6.7% de mise) : - Après 10 pertes consécutives : vous avez perdu ~50% de votre capital - Psychologiquement difficile à supporter - Nécessite une estimation parfaite des probabilités
Kelly Fractionné : La Solution Pratique
Pourquoi Utiliser Kelly/2 ou Kelly/4 ?
En pratique, on utilise une fraction du Kelly optimal :
| Fraction | Avantages | Inconvénients |
|---|---|---|
| Kelly 100% | Croissance maximale théorique | Variance extrême, erreurs coûteuses |
| Kelly 50% | Bon équilibre croissance/risque | Croissance réduite de 25% |
| Kelly 25% | Très stable, peu de stress | Croissance plus lente |
Recommandation Pratique
AstuceNotre Recommandation
Utilisez Kelly/4 (25% du Kelly optimal) pour les paris hippiques. Cela offre :
- Protection contre les erreurs d’estimation
- Variance acceptable psychologiquement
- Croissance raisonnable à long terme
Calcul Rapide avec Kelly/4
| Votre estimation | Cote 3.0 | Cote 4.0 | Cote 5.0 | Cote 6.0 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 20% | — | — | — | 1.0% |
| 1 | 25% | — | — | 1.6% | 2.5% |
| 2 | 30% | — | 1.7% | 3.1% | 4.0% |
| 3 | 35% | 0.6% | 3.3% | 4.7% | 5.5% |
| 4 | 40% | 2.5% | 5.0% | 6.2% | 7.0% |
Exemple de lecture : Si vous estimez un cheval à 30% et que sa cote est 4.0, misez 2.5% de votre bankroll.
Limites du Critère de Kelly
1. L’Estimation des Probabilités
Le plus grand défi est d’estimer correctement les probabilités. Si vous surestimez vos chances :
- Kelly recommande des mises trop grosses
- Vous perdez plus vite que prévu
- D’où l’importance de Kelly fractionné
2. Le Problème des Séries de Pertes
Même avec un avantage réel, des séries de pertes sont inévitables :
3. Kelly Ne Fonctionne Que Avec un Avantage
Si vous n’avez pas d’avantage (votre estimation = probabilité réelle du marché), Kelly recommande de ne pas miser du tout.
C’est pourquoi Kelly est surtout utile pour : - Les parieurs qui ont une vraie expertise - Les situations où vous identifiez une “value” (cote sous-estimée)
Application aux Paris Hippiques
Étapes Pratiques
- Estimez la probabilité de gain de votre cheval (basé sur votre analyse)
- Vérifiez la cote proposée par le PMU
- Calculez Kelly : \(f^* = \frac{p \times (cote - 1) - (1-p)}{cote - 1}\)
- Divisez par 4 pour obtenir votre mise en % de bankroll
- Ne misez pas si Kelly est négatif ou très faible (< 0.5%)
Exemple Complet
Situation : - Cheval A, cote PMU : 5.0 - Votre analyse suggère 25% de chances de victoire
Calcul : \[f^* = \frac{0.25 \times 4 - 0.75}{4} = \frac{1.0 - 0.75}{4} = 6.25\%\]
Kelly/4 : \(6.25\% \div 4 = 1.56\%\)
Décision : Sur une bankroll de 100€, misez 1.56€ (arrondi à 1.50€).
Conclusion
ImportantÀ Retenir
- Kelly optimise la croissance à long terme si vous avez un avantage
- Utilisez Kelly/4 pour réduire la variance et les erreurs
- Ne misez jamais si Kelly est négatif (pas d’avantage)
- L’estimation des probabilités est la partie la plus difficile
Lectures Complémentaires
Livres
- Thorp, E.O. “A Man for All Markets” - Histoire du Kelly appliqué aux casinos et marchés
- Poundstone, W. “Fortune’s Formula” - Histoire complète du critère de Kelly
Articles
- Kelly, J.L. (1956). “A New Interpretation of Information Rate”
- Wikipedia : Kelly Criterion
À Lire Aussi
- Gestion de Bankroll - Les bases
- La Martingale - Ce qu’il ne faut pas faire
- Analyse des Rapports - Estimer les probabilités